por: daniela marin y anny pascual
EL PLANO CARTESIANO.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1.Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).
De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad . Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a l
3.3 Producto Cartesiano.
a farmacia.La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.
Funciones lineales:
Estas clases de funciones tienen dos características esenciales:
Las variaciones entre dos valores de la variable independiente y la de sus correspondientes de la variable dependiente son uniformes.
- Todos los puntos de su gráfica están alineados.
Funciones de proporcionalidad directa:
Si en todos los pares de valores de una funcion de proporcionalidad directa dividimos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número. Ese valor se llama constante de proporcionalidad, y se escribe habitualmente k.
Funciones de proporcionalidad inversa:
Si en todos los pares de valores de una función de proporcionalidad inversa multiplicamos la ordenada por la abscisa, obtenemos siempre el mismo número, que es la constante de proporcionalidad, y habitualmente se escribe k.
Propuestas de Actividades[]
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Act. 37
Ignacio participa en el triatlón de su ciudad, que consiste en tres trayectos: el primero es de carrera pedestre, el segundo es de nado en una laguna y el último es de mountain-bike.
Observen la gráfica, que muestra la altura con respecto al nivel de la laguna que se encuentra Ignacio en cada momento de la competencia, y respondan a las preguntas.
a) ¿Cuánto tiempo tardó en alcanzar la altura máxima?
3.3.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: A x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.
En consecuencia:
(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B
(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B
En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:
R x R = {(x, y) / x ÎR Ù y Î R }.
R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.
Se establece una relación biunívocaentreR x Ry el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y). Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.
Ejemplo 2:
Sean A = {x / x ÎR Ù1 < x £ 3 },
B = {x / x ÎR Ù-2 £ x < 2 }.
Su representación geométrica es:
A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.
Ejemplo 3: Sean A = {x / x ÎNÙ1 £ x < 4}, B = {x / x ÎR Ù1 £ x £ 3}. Representar A x B en el plano cartesiano.
Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que aiÎ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An. 3.3.2 Propiedades del producto cartesiano. 3.3.2.1 A Ì X Ù B Ì Y Û A x B Ì X x Y. 3.3.2.2 A x B = 0 Û A = 0 Ú B = 0. 3.3.2.3 A ¹ B Ù A x B ¹ 0 Þ A x B ¹ B x A. 3.3.2.4 A x (B · C) = (A x B)( A x C). 3.3.2.5 A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ).
Demostración de 3.3.2.2: Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ¹ 0 y B ¹ 0; entonces existen elementos a y b tales que a Î A y b Î B. Luego la pareja (a,b) Î A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0. Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ¹ 0, existirá (a, b) Î A x B entonces a Î A en contradicción con la suposición de que A = 0. Análogamente se razona en el caso de que B = 0.
Demostración de 3.3.2.4: (x, y) Î A x (B · C) Û x Î A Ù y Î B · C. Û x Î A Ù ( y Î B Ù y Î C). Û ( x ÎA Ù y Î B) Ù (x Î A Ù y Î C). Û (x, y) Î A x B Ù (x, y) Î A x C. Û (x, y) Î (A x B) · (A x C).
3.3.3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene:
½ A x B ½ = ½ A½ ½ B½ .
puesto que:
A x B = {(a, b): a Î A Ù b Î B}.
y para cada una de las ½ A ½ elecciones de a en A hay ½ B½ elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b).
Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:
Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante.
3.3.3.1 Reglas del producto.*
Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene:
k
½ A1x A2x ... x An½= P ½ Aj ½
j =1
De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k-adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3.
En general dados a1, a2,..., aj-1 hay nj elecciones posibles de aj. Entonces el conjunto tiene n1, n2,..., nk elementos.
Ejemplo 5: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con reemplazo de una baraja de 52 cartas. Solución: En este problema deben considerarse quintillas ordenadas de cartas de baraja. Con reemplazo significa que cada carta se regresa a la baraja antes de sacar la nueva carta. El conjunto de formas de seleccionar 5 cartas con reemplazo está en correspondencia uno a uno con:D x D x D x D x D = D 5.
Donde D es el conjunto de cartas con 52 elementos. Por la tanto el conjunto de cartas tiene 525 elementos. Ejemplo 6: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas. Solución: Esta vez la regla del producto no puede aplicarse puesto que no se permiten todas las quintillas ordenadas en D5. Específicamente están prohibidas las quintillas donde se repita una carta. Sin embargo es posible razonar de la forma siguiente: La primera carta puede seleccionarse de 52 maneras. Una vez seleccionada, la segunda carta puede elegirse de 51 maneras. La tercera carta puede escogerse de 50 formas, la cuarta de 49 y la quinta de 48. De esta forma, pueden elegirse 5 cartas sin reemplazo de 52 · 51· 50 · 49 · 48 maneras diferentes.
Ejercicios 3.3
1) Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades:(x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)
2) Demostrar los teoremas 3.3.2.1, 3.3.2.3, 3.3.2.5.
3) Demostrar que (A x B) (C x D) = (A x D) (C x B).
4) ¿Cómo deben ser A y B para que en A x B existan parejas que tengan iguales las dos componentes?.
5) Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de:A x B y B x A.
6) Sea S = {100, 101,..., 999} así que ½ S½ = 900.*
¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es un 3 o un 7? Ejemplos: 300, 707, 736, 103, 997.
¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es 3 y al menos uno que es 7? Ejemplos: 736, 377.
7) Sea T = {1000, 1001, ..., 9999} ¿ Cuántos enteros en T tienen al menos un dígito que sea 0, al menos uno que sea 1 y al menos uno que sea 2? Ejemplo: 1072, 2101.
Sugerencia: Sea,
Ak = {n Î T: n no tiene dígito igual a k}, k = 0,1,2.